Actividad 1.3

EJERCICIO 1

Ángulos entre paralelos

Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.

Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos nombres. averiguar lo que valen los demás.

ángulos alternos internos

 los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal.

 ángulos alternos externos

 los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

 ángulos opuestos por el vértice

 cuando comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro

ángulos adyacentes

 cuando tienen el vértice y un lado común y los otros lados tales que uno es prolongación del otro.

puntos notables de un triangulo

incentro 

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma. Más concreta mente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

Baricentro

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se corta.

Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.

 

propiedades de las figuras geométricas

Las figuras geométricas componen todo lo que está alrededor de nosotros. Pueden ser bidimensionales y tridimensionales. las figuras geométricas pueden compartir propiedades con otras, lo que requiere describirlas más detalladamente para distinguirlas de otras figuras.

Lados

El número de lados que tiene una figura puede ayudar a determinar qué tipo  de figura geométrica es. Todas las figuras bidimensionales hechas con líneas rectas se consideran polígonos. Por ejemplo, un triángulo es una figura bidimensional que tiene tres lados. Los lados por sí solos no identifican la figura. Hay muchas figuras que tienen cuatro lados, como los cuadrados, rectángulos, rombos, trapezoides y muchas otras. Sin embargo, todas las figuras con cuatro lados se consideran cuadriláteros. Algunas figuras no tienen esquinas y por lo tanto no tienen lados distinguibles. Los círculos y los óvalos son ejemplos de figuras geométricas que no tienen lados distinguibles.

Ángulos

Las figuras que tienen esquinas, también llamadas vértices, crean ángulos que pueden medirse. Los ángulos están presentes tanto en las figuras bidimensionales como en las tridimensionales. Un ángulo puede medirse usando un transportador. Un ángulo puede ser agudo, lo que significa que mide menos de 90 grados, recto, que quiere decir que es de exactamente 90 grados, u obtuso, lo que significa que es mayor a 90 grados. 

Regulares e irregulares

Las figuras bidimensionales pueden clasificarse en regulares e irregulares. Los polígonos regulares son polígonos cuyos lados y ángulos interiores son congruentes, es decir, iguales. Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales en longitud y todos los ángulos interiores son de 60 grados, lo que lo hace un triángulo regular. No todas las figuras pueden ser regulares. Un rectángulo, por ejemplo, por definición tiene dos lados que son iguales en longitud. Un lado es más largo que el otro. Esto hace que el rectángulo sea una figura irregular.

Figuras tridimensionales

La geometría no se limita a las figuras bidimensionales. También incluye las figuras tridimensionales, llamadas también figuras sólidas. Estas figuras tienen un valor adicional de profundidad que no tienen las figuras bidimensionales. Las figuras tridimensionales se construyen con figuras bidimensionales. Por ejemplo, un cubo es una figura tridimensional que se construye con seis cuadrados ordenados en la forma de una caja. Otras figuras son una combinación de varias figuras geométricas. Un prisma es una combinación de rectángulos y triángulos.

Bases

Las figuras tridimensionales tienen bases. La base es la cara de la figura que descansa sobre un plano. Por ejemplo, una pirámide tiene una base cuadrada. Un cilindro tiene una base circular. En algunos casos, la base es igual al resto de las caras, como en el caso de un cubo. Una esfera, que se ve como una pelota, no tiene una base. Una esfera se describe como una figura en la que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

   

problemas 

Área de parte sombreada 

la siguiente figura es el plano de una recreativa que se esta construyendo tiene la forma de un cuadrado y de área = 1600 metros cuadrados;el semicírculo de la derecha esta destinado a una alberca y las restantes áreas a juegos mecánicos y mesas con sillas para los visitantes. los limites del area verde son la alberca una diagonal del cuadrado y 1/4 de circulo determina la cantidad de pasto en rollo que se debe comparar para dicha área.

para resolver el problema primero tenemos que sacar el área del circulo grande y dividirlo entre 8, ya que si observamos bien tomando en cuenta la diagonal se divide el circulo en 8 partes , después tenemos que sacar el área del circulo chico  y restarle el área del triangulo que se muestra en la siguiente imagen 

dividimos entre dos para sacar la parte azul y por ultimo se le resta el resultado del circulo grande 

Área

 se muestra en la siguiente figura en la cual el cuadrado pequeño su area es de 9

como se muestra en la imagen primero trazamos dos diagonales donde podemos observar que las diagonales intersectan formando ángulos de 90° y a demás se cortan en el punto medio de las diagonales donde podemos observar que se forma un triangulo rectángulo , asi podemos resolver usando el teorema de pitagoras. entonces nos quedaría (r2 por que son dos radios).

la forma de resolver a continuación :

 r2+r2=3 ( al cuadrado)

2r2=9

r= 9/2

r= 4,5 y sacamos la raíz la cual su resultado es de 2.1213 

nuestro resultado fue de 2.1213 y para sacar el área del circulo solo utilizamos la formula del área del circulo y nos da como resultado 14, 13 centímetros cuadrados y para sacar el área del cuadrado grande pues notamos que el lado mide lo mismo que el diámetro del circulo.

Circulo tangentes 

para sacar el are a de la parte de color simplemente tenemos que sacar el área de un circulo teniendo de dato el  radio es de 20 cm . teniendo el área podemos observar que se forma un cuadrado.

entonces sacamos el área del cuadrado sabiendo que el lado mide el doble del radio y al resultado se le resta el resultado del circulo.

Ensayo de 2400 palabras armonía del rectángulo áureo 

La divina proporción o proporción áurea: es un concepto geométrico, que se da cuando al partir un segmento en dos partes desiguales, dividiendo el total por la parte más larga obtenemos el mismo resultado que al dividir la más larga entre la más corta. 

La sucesión de Fibonacci: entra el en campo de la aritmética y está íntimamente relacionada con el número de oro. Se trata de una serie infinita de números naturales que empieza con un 0 y un 1 y continúa añadiendo números que son la suma de los dos anteriores.

El número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte, donde también se relaciona con la serie de Fibonacci.

El número de oro que normalmente designamos con la letra griega Φ. Su característica principal es la inconmensurabilidad, es decir, no se puede expresar como proporción de dos enteros, es irracional. El periodo de este número es infinito y sus cifras decimales no se repite periódicamente.

Como ya se había mencionado no solo se representa en figuras geométricas sino también en el arte por medio de esculturas, pinturas o construcciones. Podemos ver como se expresa en las pirámides de Egipto, el Partenón de Atenas y las catedrales góticas europeas; podemos percibir cómo los artistas y artesanos de todas las épocas. El hecho de que los griegos y posteriormente artistas de todas las épocas hayan adoptado esta proporción como modelo de armonía y de belleza, ya sería motivo suficiente para tratar este número tan extraño con respeto.

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple..Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero han designado a este número con nombre tan expresivos como sección áureo, razón áurea o divina proporción. Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras dimensiones relacionadas con la razón áurea.

El templo del Partenón, el templo de Ceres en Paestum (460 a.C) o el Apolo de Belvedere hacen uso del número aureo ya sea en la proporciones de la estatua o por medio del rectangulo aureo en el caso del partenón. Pero no debemos engañarnos y pensar que sólo los antiguos usaban esto, en la pintura moderna y en todo el arte moderno se sigue a usar. Un ejemplo muy claro es la obra de Salvador Dali “Leda y el cisne” donde es muy sencillo verlo con sólo dibujar un poquito sobre el original para que el pentagrama sea más visible. Pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. Observe el lector como, por ejemplo,  la posición del pie y el ala del cisne marcan puntos del pentagrama.

Diego de Velázquez utilizó en una de sus obras más conocidas la sección áurea para representar a la Meninas.

También Alberto Durero, aprovechó la armonía y belleza que desprende el número áureo en la composición de muchas otras obras, para representar a Adán y Eva. La curva que se forma en el rectángulo áureo, conocida como la espiral de Durero, fue descubierta por el pintor renacentista Alberto Durero entre otros artistas.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano radio de la circunferencia es el número áureo.

En la naturaleza El número áureo también aparece en la formación de los flósculos de los girasoles y en la disposición de los pétalos de algunas plantas como los cactus o rosas .También rige las dimensiones y formas de GALAXIAS que contienen billones de estrellas y define la dinámica de los agujeros negros. Pero también podemos encontrar la belleza de la espiral de Dudero en HURACANES.

La serie de Fibonacci en la naturaleza La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci: El tronco se divide en una rama grande , esta rama se divide en dos , luego, cada una de ellas se divide en ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.

El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio Venus La Tierra incluyendo La Luna, Marte incluyendo Fobos y Deimos. Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar Júpiter tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

El rectángulo de numerosos objetos nos resultan especialmente armoniosos hasta tal punto que las primeras tarjetas de crédito tenían las dimensiones de esos rectángulos especiales ya que tienen unas proporciones determinadas y una extraña propiedad a la que se le atribuye el número áureo

La serie de Fibonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.

La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.

.El número áureo en la Música Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en . Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.

En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras. Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan con la sección áurea.El compositor mexicano Silvestre Revueltas 1899. en 1945 utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes unidades formales.El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. 

El  número en el hombre

Bueno, ya hemos visto que este número aparece en muchos lugares, pero es que nosotros mismos somos un libro abierto donde se muestra este número por todas partes.

• La relación entre las falanges de los dedos es el número áureo
• La relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número
• La relación entre toda la pierna y la altura a la rodilla posee esa relación.
• La relación entre todo el brazo y la distancia al codo posee esta relación

Seguimos hablando de la supuesta relación entre la divina proporción y la divinidad, porque

no son pocos los que aseguran que la Biblia está salpicada de referencias a este concepto.Por un lado, es una forma que parece gustar a Dios, puesto que tanto en las instrucciones para el Arca de la Alianza que dio a Moisés, como las que dio a Noé para la otra arca, pide unas proporciones 5x3 casualmente, dos números de la sucesión de Fibonacci que dan como resultado 1,666, suficientemente cercano a phi como para engañar al ojo. Puestos a encontrar, hay quien encuentra relación entre 666, el número del anticristo, y el número áureo.

La espiral logarítmica

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante o espiral geométrica el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética. J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spiramirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales flores , frutos y animales conchas de moluscos, aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. 

El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuanta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas entre otras cosas.