El número de oro que normalmente designamos con la
letra griega Φ. Su característica principal es la inconmensurabilidad, es
decir, no se puede expresar como proporción de dos enteros, es irracional. El
periodo de este número es infinito y sus cifras decimales no se repite periódicamente.
Como ya se había mencionado no solo se representa en figuras
geométricas sino también en el arte por medio de esculturas, pinturas o
construcciones. Podemos ver como se expresa en las pirámides de Egipto, el
Partenón de Atenas y las catedrales góticas europeas; podemos percibir cómo los
artistas y artesanos de todas las épocas. El hecho de que los griegos y
posteriormente artistas de todas las épocas hayan adoptado esta proporción como
modelo de armonía y de belleza, ya sería motivo suficiente para tratar este
número tan extraño con respeto.
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple..Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero han designado a este número con nombre tan expresivos como sección áureo, razón áurea o divina proporción. Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras dimensiones relacionadas con la razón áurea.
El templo del Partenón, el templo de Ceres en Paestum (460 a.C) o el Apolo de Belvedere hacen uso del número aureo ya sea en la proporciones de la estatua o por medio del rectangulo aureo en el caso del partenón. Pero no debemos engañarnos y pensar que sólo los antiguos usaban esto, en la pintura moderna y en todo el arte moderno se sigue a usar. Un ejemplo muy claro es la obra de Salvador Dali “Leda y el cisne” donde es muy sencillo verlo con sólo dibujar un poquito sobre el original para que el pentagrama sea más visible. Pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. Observe el lector como, por ejemplo, la posición del pie y el ala del cisne marcan puntos del pentagrama.
Diego de Velázquez utilizó en una de sus obras más conocidas la sección áurea
para representar a la Meninas.
También Alberto Durero, aprovechó la armonía y belleza que
desprende el número áureo en la composición de muchas otras obras, para
representar a Adán y Eva. La curva que se forma en el rectángulo áureo,
conocida como la espiral de Durero, fue descubierta por el pintor renacentista
Alberto Durero entre otros artistas.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano radio de la circunferencia es el número áureo.
En la naturaleza El número áureo también aparece en la
formación de los flósculos de los girasoles y en la disposición de los pétalos
de algunas plantas como los cactus o rosas .También rige las dimensiones y
formas de GALAXIAS que contienen billones de estrellas y define la dinámica de
los agujeros negros. Pero también podemos encontrar la belleza de la espiral de
Dudero en HURACANES.
La serie de Fibonacci
en la naturaleza La gran mayoría de
los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci: El tronco se
divide en una rama grande , esta rama se divide en dos , luego, cada una de
ellas se divide en ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
Podemos encontrar el número áureo en
distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo,
las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o
las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra
mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio Venus La Tierra incluyendo
La Luna, Marte incluyendo Fobos y Deimos. Hasta aquí la semejanza, pues el
planeta que sigue en el Sistema Solar Júpiter tiene más de 60 satélites conocidos.
Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente dado que los otros son
marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia
de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
El rectángulo de numerosos objetos nos resultan
especialmente armoniosos hasta tal punto que las primeras tarjetas de crédito
tenían las dimensiones de esos rectángulos especiales ya que tienen unas
proporciones determinadas y una extraña propiedad a la que se le atribuye el
número áureo
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.
.El número áureo en la Música Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en . Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.
En las estructuras formales
de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven estos compositores
probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en
equilibrios de masas sonoras. Autores como Bártok, Messiaen y
Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan
con la sección áurea.El
compositor mexicano Silvestre Revueltas 1899. en 1945 utilizó también el número
áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes unidades formales.El grupo
de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus hacen múltiples
referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la
canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de
forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha
secuencia.
El
número en el hombre
Bueno, ya hemos visto que este número aparece
en muchos lugares, pero es que nosotros mismos somos un libro abierto donde se
muestra este número por todas partes.
- La
relación entre las falanges de los dedos es el número áureo
- La
relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este
número
- La
relación entre toda la pierna y la altura a la rodilla posee esa relación.
- La
relación entre todo el brazo y la distancia al codo posee esta relación
Seguimos hablando de la supuesta relación entre
la divina proporción y la divinidad, porque
no son pocos los que aseguran que la Biblia está salpicada de
referencias a este concepto.Por un lado, es una forma que parece gustar a Dios, puesto que tanto
en las instrucciones para el Arca de la Alianza que dio a Moisés, como las que
dio a Noé para la otra arca, pide unas
proporciones 5x3 casualmente, dos números de la sucesión de Fibonacci que dan
como resultado 1,666, suficientemente cercano a phi como para engañar al ojo. Puestos a encontrar,
hay quien encuentra relación entre 666, el número del anticristo, y el número
áureo.
La espiral logarítmica
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante o espiral geométrica el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética. J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spiramirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales flores , frutos y animales conchas de moluscos, aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
Es hora de
reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece
repetidamente en las conversaciones de matemáticas.
El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuanta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas entre otras cosas.
